Temporal correlation of average population densities of adjecent spatial domains Research Project Students

Animal populations are not constant in space and time but reveal temporal oscillations. Since the beginning of the 20th century this is a widely accepted fact [Elton, 1924, Lotka, 1925, Volterra, 1926]. Volterra [1931] and Lotka [1934] suggested the first mathematical predator-prey model for describing these oscillations. Within the following decades many different new models have been proposed and several population cycles of various species have been observed. Murray [1989] [or Murray, 2008, 2003] gives a good overview over many models. Especially the population cycles of the snowshoe hare and the Canadian lynx have been studied extensively and are said to be the best documented ones [MacLulich, 1937, Elton and Nicholson, 1942, Chitty, 1948, 1950, Finerty, 1979, Smith, 1983, Krebs et al., 1986, Smith et al., 1988, Sinclair et al., 1988, 1993, Ranta et al., 1997b, Krebs et al., 2001]. The monitoring of wildlife animal populations provides mean populations sizes for large spatial domains. In the case of many time series of the snowshoe hare population these domains have the area of several thousand square kilometres. Motivated by this, we analyse the effect of the size and position of spatial domains on the mean animal populations within these domains. No real observations but a mathematical predator-prey-model are used for this purpose. The model was used by Petrovskii and Malchow [1999] [see also Murray, 1989, Sherratt and Smith, 2008] and describes the propagation and interaction of a predator and a prey species. It is formed by two coupled partial differential equations: Both species diffuse with the same diffusion coefficient, the prey grows logistically, both equations are coupled by a MichaelisMenten-Kinetics term [Michaelis and Menten, 1913] as hunt-term and the mortality term of the predator is a first order kinetic. For the appropriate choice of parameters, the population densities oscillate either chaotically or regularly depending on the initial conditions. After discussing the model and the used numeric tools in chapter 2, we introduce two adjacent spatial domains, change their size relative to each other and relative to the whole space and position and compute average population densities which we compare in chapter 3. The pde system offers different possibilities to vary parameters, initial conditions and the model itself. Uncoupled from the practical motivation, parameter and model variations and their results are discussed and presented in the chapters 4, 5 and 6. In chapter 4 we vary especially the prey’s growth rate and the predator’s mortality. The results are travelling waves [Sherratt and Smith, 2008], unexpected less regular regular oscillations and chaotic oscillations which evolve slightly different than those observed before. Further in chapter 5 we introduce noise with the intention to produce more realistic regular oscillations which we can use for further works on the topic of chapter 3. However, we hit some snags and discuss the results without working with the both spatial domains and computing average population densities. Finally in chapter 6 spatio-temporal chaos lies in the focus. We observe areas of regular oscillations in a chaos-dominated system and try to reproduce results of Petrovskii et al. [2010]. Zusammenfassung Tierpopulationen sind nicht zeitlich und räumlich konstant, sondern zeigen Schwingungen in der Zeit. Seit Anfang des 20. Jahrhunderts ist dies eine weitgehend akzeptierte Tatsache [Elton, 1924, Lotka, 1925, Volterra, 1926]. Als erste schlugen Volterra [1931] und Lotka [1934] ein mathematisches Modell zur Beschreibung dieser Oszillationen vor. Innerhalb der folgenden Jahrzehnte wurden viele verschiedene neue Modelle aufgestellt und etliche Populationszyklen unterschiedlicher Tierarten aufgezeichnet. Murray [1989] [or Murray, 2008, 2003] bietet einen guten Überblick über einige dieser Modelle. Besonders die Populationszyklen des Schneeschuhhasen und des Kanadischen Luchses wurden ausführlich studiert und sollen zu den am umfangreichsten dokumentierten gehören [MacLulich, 1937, Elton and Nicholson, 1942, Chitty, 1948, 1950, Finerty, 1979, Smith, 1983, Krebs et al., 1986, Smith et al., 1988, Sinclair et al., 1988, 1993, Ranta et al., 1997b, Krebs et al., 2001]. Im Allgemeinen liefert die Beobachtung wild lebender Tierpopulationen lediglich über ein großes räumliches Gebiet gemittelte Populationsgrößen. Im Fall von Zeitreihen des Schneeschuhhasen umfassen diese Gebiete mehrere tausend Quadratkilometer. Hierdurch motiviert analysieren wir den Effekt der Größe und Position solcher Gebiete auf die dort drin ermittelten mittleren Tierpopulationen. Hierfür werden keine realen Tierbeobachtungen sondern ein mathematisches Räuber-BeuteModell verwandt. Das Modell wurde bereits in Petrovskii and Malchow [1999] genutzt [siehe auch Murray, 1989, Sherratt and Smith, 2008] and beschreibt die Ausbreitung und Interaktion einer Räuberund einer Beutespezies. Es besteht aus zwei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen: Beide Spezies diffundieren räumlich mit dem gleichen Diffusionskoeffizienten, die Beute wächst logistisch, beide Gleichungen sind über eine als Jagd-Term genutzte Michaelis-Menten-Kinetik miteinander verbunden und der Räuber stirbt mit einem Reaktionsterm erster Ordnung. In Kapitel 2 werden das Modell und die genutzten numerischen Hilfsmittel vorgestellt. Bei passend gewählten Parametern schwingen die Populationsdichten abhngig von den Anfangsbedingungen entweder chaotisch oder geordnet. Anschließend führen wir in Kapitel 3 zwei räumlich benachbarte Domänen ein, verändern ihre Größe relativ zueinander und relativ zum gesamten Raum und ihre Position und berechnen mittlere Populationsdichten, die wir miteinander vergleichen. Das gegebene System an partiellen Differentialgleichungen bieten verschiedene Möglichkeiten Parameter, Anfangsbedingungen und das Modell selbst zu verändern. Losgelöst von der praktischen Motivation diskutieren und präsentieren wir Variationen der Parameter und des Modells und deren Auswirkungen in den Kapiteln 4, 5 und 6. In Kapitel 4 konzentrieren wir uns speziell auf die Variation der Wachstumsrate der Beute und der Sterberate des Räubers. Die Ergebnisse sind Travelling Waves (dt.: reisende Wellen) [Sherratt and Smith, 2008], unerwartet weniger regelmäßige geordnete Schwingungen und chaotische Schwingungen, die sich etwas anders entwickeln als die bisher beobachteten. Weiter in Kapitel 5 führen wir Noise (dt.: Rauschen) mit der Intention ein, realistischere reguläre Schwingungen zu erzeugen, die wir für weitere Arbeiten zum Thema von Kapitel 3 verwenden können. Allerdings treffen wir auf einige Hinderniss und diskutieren lediglich die Ergebnisse ohne mit den beiden räumlichen Domänen zu arbeiten und gemittelte Populationsdichten auszurechnen. Schließlich liegt in Kapitel 6 raum-zeitliches Chaos im Fokus. Wir beobachten Gebiete geordneter Schwingungen in einem von Chaos dominierten System und versuchen Ergebnisse von Petrovskii et al. [2010] zu reproduzieren.